Математика Формулы
Решение дифференциального уравнения первого порядка.
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.(1-x^{2})y'+xy=1
Решение.
Положим
y=ux, y'=u'x+u
, тогда(1-x^{2})(xu'+u)+x^2u=1
u'x(1-x^2)+u=1
\frac{u'}{1-u}=\frac{1}{x(1-x^2)}
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные и проинтегрируем.
\frac{1}{1-u}du=\frac{dx}{x(1-x^2)}
\int \frac{1}{1-u}du=\int\frac{1}{x(1-x^2)}
ln(1-u)=\int(\frac{1}{x}+\frac{0.5}{1-x}-\frac{0.5}{1+x})dx
ln(1-u)=lnx + 0.5ln(1-x)-0.5ln(1+x)+lnC
1-u=Cx\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
u=1-Cx\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
Т.к. y=ux
\Longrightarrow
y=x-Cx^2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
- Общее решение дифференциального уравнения.(1-x^{2})y'+xy=1
Комментарии 0 2017-06-15 22:55:53